Другое по теме: Теория графов (МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке к контрольным работам по дисциплине «Дискретная математика»)

Последовательность v1x1v2x2v3...xkvk+1, (где k1, viV, i=1,...,k+1, xiX, j=1,...,k), в которой чередуются вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1,...,k ребро (дуга) xj имеет вид {vj,vj+1} (для ориентированного графа (vj,vj+1)), называется маршрутом, соединяющим вершины v1 и vk+1 (путем из v1 в vk+1).

Пример

В графе, изображенном на рис.4, v1x1v2x2v3x4v4x3v2 - маршрут, v2x2v3x4v4 – подмаршрут;

маршрут можно восстановить и по такой записи x1x2x4x3 ;

если кратности ребер (дуг) равны 1, можно записать и так v1v2v3v4v2 .

Цепь − незамкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны.

Цикл − замкнутая цепь (в неориентированном графе).

Контур − замкнутый путь (в ориентированном графе).

Простой путь (цепь) − путь (цепь, цикл, контур), в котором ни одна дуга/ребро не встречается дважды.

Простой цикл (контур) − цикл (контур), в котором все вершины попарно различны.

Гамильтонова цепь (путь, цикл, контур) − простая цепь (путь, цикл, контур), проходящая через все вершины.

Эйлерова цепь (путь, цикл, контур) − цепь (путь, цикл, контур), содержащая все ребра (дуги) графа по одному разу.

Длина маршрута (пути) − число ребер в маршруте (дуг в пути).

Утверждение 1. Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были четными.

Утверждение 2. Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

Матрицы смежности и инцидентности

Пусть D=(V,X) ориентированный граф, V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}.

Матрица смежности ориентированного графа D − квадратная матрица

A(D)=[aij] порядка n, где

Матрица инцидентности − матрица B(D)=[bij] порядка nm, где

Матрицей смежности неориентированного графа G=(V,X) называется квадратная симметричная матрица A(G)=[aij] порядка n, где

.

Матрица инцидентности графа G называется матрица B(G)=[bij] порядка nm, где

Связность. Компоненты связности

Подграфом графа G (ориентированного графа D) называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер графа G (D).

Подграф называется собственным, если он отличен от самого графа.

Говорят, что вершина w ориентированного графа D (графа G) достижима из вершины v, если либо w=v, либо существует путь (маршрут) из v в w.

Граф (ориентированный граф) называется связным (сильно связным), если для любых двух его вершин v, w существует маршрут (путь), соединяющий v и w.

Компонентой связности графа G (сильной связности ориентированного графа D) называется его связный (сильно связный) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (ориентированного графа D).

Матрицы достижимости и связности

Пусть A(D) – матрица смежности ориентированного псевдографа D=(V,X) (или псевдографа G=(V,X)), где V={v1,…, vn}. Обозначим через Ak=[a(k)ij] k-ю степень матрицы смежности A(D).

Элемент a(k)ij матрицы Ak ориентированного псевдографа D=(V,X) (псевдографа G=(V,X)) равен числу всех путей (маршрутов) длины k из vi в vj.

Матрица достижимости ориентированного графа D − квадратная матрица T(D)=[tij] порядка n, элементы которой равны

Матрица сильной связности ориентированного графа D − квадратная матрица S(D)=[sij] порядка n, элементы которой равны

...........