1. Математика программы.
1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка
Многие задачи математической физики приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения 2-го порядка. В этой работе мы будем рассматривать только классификацию этих уравнений.
............................
1.1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
Дадим необходимые определения. Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными x, y называется соотношение между неизвестной функцией u(x, y) и ее частными производными до 2-го порядка включительно:
F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0.
Аналогично записывается уравнение и для большего числа независимых переменных.
Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + F1(x, y, u, ux, uy) = 0, (1)
где a11, a12, a22 являются функциями x и y.
Если коэффициенты a11, a12, a22 зависят не только от x и y, а являются, подобно F1, функциями x, y, u, ux, uy, то такое уравнение называется квазилинейным.
Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, uxy, uyy, так и относительно функции u и ее первых производных ux, uy:
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu +f = 0, (2)
где a11, a12, a22, b1,b2, u, f – функции только x и y. Если коэффициенты уравнения (2) не зависят о x и y, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение называется однородным, если f (x, y) = 0.
С помощью преобразования переменных
............................
Литература
1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. - 6-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 280 с.
2. А.М. Епанешников, В.А. Епанешников. Delphi. 5.0. Язык Object Pascal. М.: «Диалог-МИФИ». 2000 г. – 368 с.
3. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: изд-во МГУ, 1972г.
4. Самарский А.А. О регуляризации разностных схем Ж. Вычисл. матем. и матем. физ., т. 7, №1, 1967, с. 62-93.
............................